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美妙、有趣的数学(二)神奇的斐波那契数与黄金分割

2016-4-25 04:47| 发布者: 北美生活网| 查看: 19| 评论: 5|原作者: 紫轩

摘要: 这篇已经发过,因上次网站出点问题,丢失了,现在补发回来。 美妙、有趣的数学(二)神奇的斐波那契数与黄金分割 斐波拉契数列的来源及关系 斐波拉契(Fibonacci)数列来源于兔子问题,它有一个递推关系, f(0)=1 f ...

这篇已经发过,因上次网站出点问题,丢失了,现在补发回来。

美妙、有趣的数学(二)神奇的斐波那契数与黄金分割

 斐波拉契数列的来源及关系

斐波拉契(Fibonacci)数列来源于兔子问题,它有一个递推关系,

f(0)=1
f(1)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2
{f(n)}即为斐波拉契数列。

这个数列中的每个数字都是前两项数之和,如果是以11开头的自然数数列,1123581321345589……这些数字被称为斐波那契数。同时,这个数列中还暗含着黄金比例,如果用数列中的每一个数字去除它后面的数字,数字越大,结果就越趋近于1.618,也就是我们平常所说的黄金比例。

兔子序列(斐波那契数列)

我们假设兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。第一个月我们有一对小兔子,如果所有兔子都不死,那么每个月的兔子对数,就符合斐波那契数列。

每月兔子的总数可以用以下数列表示:1123581321345589144233…。意大利数论家奥纳多·斐波那契Leonardo Fibonacci)在他13世纪初的著作Liber Abaci中最早提出的。如果取数列前两个元素为1,那么递推关系就是:

FnFn−2+Fn−1

根据斐波那契数列,可以画出斐波那契螺旋线,也称为黄金螺旋线

斐波那契螺旋与黄金矩型

在植物中隐藏着神秘的斐波那契数列

植物中首先被提及与斐波那契数列有关的是花瓣数。不可否认,确实有一些花的花瓣数目暗合这个数列中的数字。比如梅花、山桃花、苹果花、山茶花都是5个花瓣;而鸢尾和鸭跖草是典型的有3个花瓣的花(虽然鸢尾的萼片看起来很像花瓣,经常被看成6枚花瓣的花)。

3个花瓣的代表:鸭跖草(上),鸢尾(下),5个花瓣的代表:报春花(中)杏花(右)

在上面斐波那契螺旋与黄金矩型图形中,中间的两个小正方形边长都为1,从这两个正方形出发,沿着顺时针方向画出一些四分之一扇形,这些扇形的半径长度就符合斐波那契数列。

把这些螺旋线组合起来,可以构成这样的图形。

许多植物构造与斐波那契螺旋线完美结合

数一数从向日葵中心向外延伸的螺旋线,你会发现,它们也与数列有密切联系。在有300个小花的向日葵花盘上,可以找到34条左旋的曲线和21条右旋的曲线。更大的花盘能找出更多条螺旋线,但是螺旋线的数目总是斐波那契数。类似的,人们还发现菠萝和松果的花和种子也是类似的排列,上面的螺旋线有的是8条,有的是13条。3421813,这些都是斐波那契数。

最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的。如此的原因很简单:这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气,所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样,每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。是不是太奇妙了啊!

下面:洋甘菊、紫色金光菊、白菊花

下面:五角星花、绿芯雏菊、葵花籽、勺子菊花

还发现晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。下面是几张来自晶体中的图案模型。

贝类成长方式形成的对数螺旋线

贝类的这些成长方式是以各种黄金分割比例形成的对数螺旋线已经成为许多科学研究与艺术研究的课题。

上面是海星

许多名画及有名的建筑物也与斐波那契螺旋线有关系(篇幅太长,略),以后有时间单独另写,再与朋友们分享。

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(单张图片源于网络,最后由笔者编辑、排版而成)


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最新评论

2016-4-28 15:48
数学和艺术联合起来就变得奇妙了!
2016-4-25 23:53
太有意思了。想起那年华罗庚的儿子华医生(北京协和医院内科医生)到各机关推广华罗庚黄金分割法。后来我陪家父去协和医院看病正好见到华医生,两人热烈讨论起0.618
2016-4-25 14:53
深奥的数学研究,也可以变成显而易见的艺术。涨姿势了~~~
2016-4-25 10:45
你太有心啦~
2016-4-25 04:47
谢谢您!!新周愉快!!

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